Exercícios de teorema de Stevin
Esta lista de exercícios aborda o teorema de Stevin, princípio físico que contribuiu para a formulação do teorema de Pascal e o princípio dos vasos comunicantes.
(Unipac) Uma prensa hidráulica possui pistões com diâmetros de 10 cm e 20 cm. Se uma força de 120 N atua sobre o pistão menor, pode-se afirmar que essa prensa estará em equilíbrio quando sobre o pistão maior atuar uma força de:
a) 30 N
b) 60 N
c) 480 N
d) 240 N
e) 120 N
(PUC-RS) No oceano a pressão hidrostática aumenta aproximadamente uma atmosfera a cada 10 m de profundidade. Um submarino encontra-se a 200 m de profundidade, e a pressão do ar no seu interior é de uma atmosfera. Nesse contexto, pode-se concluir que a diferença da pressão entre o interior e o exterior do submarino é, aproximadamente, de
a) 200 atm
b) 100 atm
c) 21 atm
d) 20 atm
e) 19 atm
(Udesc) Certa quantidade de água é colocada em um tubo em forma de U, aberto nas extremidades. Em um dos ramos do tubo, adiciona-se um líquido de densidade maior que a da água, e ambos não se misturam.
Assinale a alternativa que representa corretamente a posição dos dois líquidos no tubo após o equilíbrio.
(UFF-RJ) O sifão é um instrumento usado para a retirada de água de lugares de difícil acesso.
Como mostra a figura a seguir, seu funcionamento se baseia no fato de que, quando o tubo que liga os recipientes A e B está cheio, há uma diferença de pressão hidrostática entre os pontos P e Q, o que provoca um fluxo de água de A para B. Essa diferença de pressão depende da seguinte característica do nosso planeta:
a) pressão atmosférica.
b) aceleração da gravidade local.
c) temperatura da superfície.
d) densidade da atmosfera.
e) velocidade de rotação do planeta.
Quando se aplica uma força de 300 N sobre o menor pistão de uma prensa hidráulica, com raio de 0,4 metros, ocorrerá uma força sobre o pistão maior, com raio de 0,8 metros, com valor de:
a) 300 N
b) 600 N
c) 900 N
d) 1200 N
e) 2400 N
Calcule a variação de pressão sobre um mergulhador que está a uma profundidade de 0,5 metros, sabendo que a densidade da água é 1000 kg/m e a aceleração da gravidade é \(10\ m/s^2\).
a) \(3\cdot 10^3\ Pa\)
b) \(4\cdot 10^3\ Pa\)
c) \(5\cdot 10^3\ Pa\)
d) \(6\cdot 10^3\ Pa\)
e) \(7\cdot 10^3\ Pa\)
Calcule a altura atingida pela água quando ela é despejada em um recipiente em formato de U que contém óleo e que após o equilíbrio tem uma altura de 0,8 metros, sabendo que a densidade da água é \(1000\ kg/m^3\) e do óleo é \(800\ kg/m^3\).
a) 1,00 m
b) 0,32 m
c) 0,50 m
d) 0,80 m
e) 0,64 m
Calcule a área do pistão maior de uma prensa hidraúlica que recebe uma força de 200 N, sabendo que sobre o pistão menor de \(2\ m^2\) é aplicada uma força de 80 N.
a) \(2\ m^2 \)
b) \(3\ m^2 \)
c) \(4\ m^2 \)
d) \(5\ m^2 \)
e) \(6\ m^2 \)
Após seus estudos a respeito do Teorema de Stevin, determine quais das proposições abaixo são consideradas suas aplicações:
I) Princípio de Bernoulli.
II) Teorema de Arquimedes.
III) Vasos comunicantes.
IV) Teorema de Pascal.
a) Alternativas I e II.
b) Alternativas III e IV.
c) Alternativas I e III.
d) Alternativas II e IV.
e) Alternativas I e IV.
Qual a profundidade máxima que um nadador pode alcançar sabendo que o seu pulmão suporta uma diferença de pressão de 0,08 atm? Considere que a densidade da água é 1000 kg/m e a aceleração da gravidade é \(10\ m/s^2\).
a) 0,08106 m
b) 0,008106 m
c) 0,8106 m
d) 8,106 m
e) 81,06 m
Calcule a densidade do líquido que é despejado em um recipiente contendo mercúrio, cuja densidade é \(13,534\ g/m^3\), sabendo que o líquido está a uma altura de 30 cm e o mércurio, a 90 cm.
a) \(40,602\ g/m^3\)
b) \(50,786\ g/m^3\)
c) \(60,902\ g/m^3\)
d) \(70,413\ g/m^3\)
e) \(80,258\ g/m^3\)
Quais proposições apresentam a unidade de medida correspondente à grandeza física estudada no teorema de Stevin?
I) A densidade é medida em \(kg/m^3\).
II) A altura é medida em Pascal.
III) A pressão é medida em metros por segundo.
IV) A força é medida em Newton.
a) Alternativas I e II.
b) Alternativas III e IV.
c) Alternativas I e III.
d) Alternativas II e IV.
e) Alternativas I e IV.
Letra A.
Primeiramente, calcularemos o raio do pistão maior, por meio do seu diâmetro:
\(r_1=\frac{d_1}2\)
\(r_1=\frac{20}2\)
\(r_1=10\ cm\)
E o raio do pistão menor:
\(r_2=\frac{d_2}2\)
\(r_2=\frac{10}2\)
\(r_2=5\ cm\)
Depois, calcularemos a área do pistão maior:
\(A_1=π\cdot r_1^2\)
\(A_1=π\cdot 10^2\)
\(A_1=100π\ cm^2 \)
E a área do pistão menor:
\(A_2=π\cdot r_2^2\)
\(A_2=π\cdot 5^2\)
\(A_2=25π\ cm^2\)
Por fim, substituiremos os dados na fórmula do teorema de Pascal:
\(\frac{F_1}{A_1} =\frac{F_2}{A_2} \)
\(\frac{120}{100π}=\frac{F_2}{25π}\)
\(F_2=\frac{120\cdot 25π}{100π}\)
\(F_2=30\ N\)
Letra D.
De início, calcularemos a pressão externa usando o teorema de Stevin:
\(∆p=p-p_o\)
Lembrando que \(p_o\) é a pressão atmosférica, p é a pressão absoluta, que nesse caso se trata da pressão externa \(p_e\), e \(∆p \) é a pressão manométrica, que nesse caso se trata da pressão hidrostática \(p_h\).
\(p_h=p_e-p_o\)
\(p_e=p_h+p_o\)
De acordo com o enunciado, a cada 10 metros a pressão hidrostática aumenta 1 atm, então a uma profundidade de 200 metros, a pressão hidrostática é 20 atm e a pressão atmosférica é 1 atm. Assim, a pressão externa é:
\(p_e=p_h+p_o\)
\(p_e=20+1\)
\(p_e=21\ atm\)
Por fim, calcularemos a diferença de pressão no interior e no exterior do submarino, sabendo que a pressão interna é 1 atm:
\(∆p=p_e-p_i\)
\(∆p=21-1\)
\(∆p=20\ atm\)
Letra D.
Ao se colocar líquidos a diferentes densidades em um recipiente em U, eles terão alturas diferentes, ainda que apresentem a mesma pressão. Como a densidade da água é menor que a densidade do líquido, a altura da água deve ser maior que a altura do líquido.
Letra B.
Podemos analisar essa questão por meio da fórmula do teorema de Stevin:
\(∆p=d\cdot g\cdot ∆h\)
De acordo com o teorema, a variação de pressão hidrostática depende da densidade do líquido, da aceleração da gravidade local e da variação de altura.
Letra D.
Inicialmente, calcularemos a área do pistão maior:
\(A_1=π\cdot r_1^2\)
\(A_1=π\cdot 0,4^2\)
\(A_1= 0,16π\ m^2\)
E a área do pistão menor:
\(A_2=π\cdot r_2^2\)
\(A_2=π\cdot 0,8^2\)
\(A_2=0,64π\ m^2\)
Por fim, substituiremos os dados na fórmula do teorema de Pascal:
\(\frac{F_1}{A_1} =\frac{F_2}{A_2} \)
\(\frac{300}{0,16π}=\frac{F_2}{0,64π}\)
\(F_2=\frac{300\cdot 0,64π}{0,16π}\)
\(F_2=1200\ N\)
Letra C.
Calcularemos a variação de pressão sobre o mergulhador usando o teorema de Stevin:
\(∆p=d\cdot g\cdot ∆h\)
\(∆p=1000\cdot 10\cdot 0,5\)
\(∆p=5000\)
\(∆p=5\cdot 10^3\ Pa\)
Letra E.
Calcularemos a altura atingida pela água por meio da fórmula do princípio dos vasos comunicantes:
\(\frac{H_1}{H_2} =\frac{d_2}{d_1} \)
\(\frac{H_1}{0,8}=\frac{800}{1000}\)
\(H_1=\frac{0,8\cdot 800}{1000}\)
\(H_1=0,64\ m\)
Letra D.
Calcularemos a área do pistão maior, usando o teorema de Pascal:
\(\frac{F_1}{A_1} =\frac{F_2}{A_2} \)
\(\frac{80}{2}=\frac{200}{A_2} \)
\(A_2=\frac{200\cdot 2}{80}\)
\(A_2=5\ m^2\)
Letra B. Os vasos comunicantes e o teorema de Pascal são aplicações do teorema de Stevin, já que ele propiciou o desenvolvimento deles.
Letra C.
Primeiramente, transformaremos a pressão de atm para Pascal:
0,08 atm = 8106 Pa
Depois, calcularemos a profundidade máxima atingida pelo nadador por meio do teorema de Stevin:
\(∆p=d\cdot g\cdot ∆h\)
\(8106=1000\cdot 10\cdot ∆h\)
\(∆h=\frac{8106}{1000\cdot 10}\)
\(∆h=0,8106\ m\)
Letra A.
De início, converteremos as alturas de centímetros para metros:
30 cm = 0,3 m
90 cm = 0,9 m
Depois, calcularemos a densidade do líquido usando a fórmula do princípio dos vasos comunicantes:
\(\frac{H_1}{H_2} =\frac{d_2}{d_1} \)
\(\frac{0,3}{0,9}=\frac{13,534}{d_1} \)
\(d_1=\frac{13,534\cdot 0,9}{0,3}\)
\(d_1=40,602\ g/m^3\)
Letra E.
Abaixo, vemos a correção, em vermelho, das alternativas incorretas.
I) Correta.
II) Incorreta. A altura é medida em metros.
III) Incorreta. A pressão é medida em Pascal.
IV) Correta.