Exercícios sobre equações
Esta lista de exercícios resolvidos testará seus conhecimentos sobre equações do primeiro e segundo grau.
(Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00 e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a) R$ 14,00.
b) R$ 17,00.
c) R$ 22,00.
d) R$ 32,00.
e) R$ 57,00.
(Vunesp – 2011) Pedrinho tinha quatro anos quando sua mãe deu à luz gêmeos. Hoje a soma das idades dos três irmãos é 52 anos. A idade de Pedrinho hoje é:
a) 16 anos.
b) 17 anos.
c) 18 anos.
d) 19 anos.
e) 20 anos.
Um terreno que possui formato quadrado tem área total de 784 m2 e foi dado como herança a dois irmãos, que decidiram dividi-lo ao meio diagonalmente com uma cerca de arame. Quantos metros de cerca serão construídos?
a) 39,6 m
b) 28 m
c) 32 m
d) 39,1 m
e) 40,2 m
Qual o número de lados de um polígono que possui 170 diagonais?
a) 20 lados
b) 34 lados
c) 40 lados
d) 20 lados
e) 1369 lados
Observe que as 50 pessoas que já estavam no grupo já haviam pagado sua parte e agora deveriam contribuir com mais R$ 7,00. Essa nova contribuição, somada à parte dos cinco novos integrantes, deve resultar em R$ 510,00. Assim, se a parte de cada um dos cinco novos integrantes for representada por x, teremos:
5·x + 50·7 = 510
5x + 350 = 510
5x = 510 – 350
5x = 160
x = 160
5
x = 35
Agora observe que R$ 32,00 é exatamente o valor que cada uma das cinco novas pessoas do grupo pagará. Como o enunciado diz que todos pagarão exatamente a mesma quantia, podemos dizer que cada uma das 55 pessoas pagará R$ 32,00.
Gabarito: letra D.
Para resolver esse problema, considere a idade dos gêmeos como x. Como Pedrinho é quatro anos mais velho, sua idade é 4 + x. Sabendo que a soma das idades dos três irmãos é igual a 52, podemos montar a seguinte equação:
4 + x + x + x = 52
4 + 3x = 52
3x = 52 – 4
3x = 48
x = 16
A idade dos gêmeos é 16 anos, o que significa que Pedrinho tem x + 4 = 16 + 4 = 20 anos.
Gabarito: letra E.
Se o terreno foi dividido diagonalmente, o comprimento da cerca é igual ao comprimento da diagonal desse quadrado. Para descobri-la, precisamos descobrir a medida do lado do quadrado. Observe:
A = l2
784 = l2
l2 = 784
l = √784
l = 28 metros
A diagonal do quadrado, por sua vez, é determinada pela seguinte equação:
d = l√2
d = 28√2
d = 39,6 metros
Portanto, serão construídos 39,6 metros de cerca.
Gabarito: letra A.
A fórmula usada para determinar o número de diagonais de um polígono a partir do número de lados é a seguinte:
D = n(n – 3)
2
170 = n(n – 3)
2
170·2 = n(n – 3)
340 = n2 – 3n
n2 – 3n – 340 = 0
Agora usaremos o método resolutivo de Bhaskara para resolver essa equação.
A = 1, b = – 3 e c = – 340
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)
Δ = 9 + 1360
Δ = 1369
n = – b ± √Δ
2·a
n = – (– 3) ± √1369
2·1
x = 3 ± 37
2
n’ = 3 + 37 = 40 = 20
2 2
n’’ = 3 – 37 = – 34 = – 17
2 2
Como não pode existir um polígono com número de lados negativo, esse polígono possui 20 lados.
Gabarito: letra D.