Exercícios sobre matriz inversa
Nesta lista de exercícios, você testará suas habilidades para calcular operações com matriz inversa.
Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
I. Toda matriz quadrada é invertível.
II. A matriz inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.
III. Toda matriz invertível é uma matriz quadrada.
A) Apenas o item I é falso.
B) Apenas o item II é falso.
C) Apenas o item III é falso.
D) Temos dois itens falsos.
E) Temos dois itens verdadeiros.
Sabendo que a matriz inversa da matriz A é a matriz B, julgue os itens abaixo.
A) Determinante de A é igual ao determinante de B.
B) O produto A∙B=O (matriz nula).
C) Determinante de A é o oposto do determinante de B.
D) Determinante de A é
E) Os elementos da matriz A são opostos aos elementos da matriz B.
Sabendo que a matriz N de ordem 2x2 obedece à lei de formação aij=1, se \(\begin{cases} a_{ij}=1,\ se\ i\neq j\\ \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j \end{cases} \), podemos afirmar que a matriz inversa de N é:
A)
B)
C)
D)
E)
Sejam
A)
B)
C)
D)
E)
Seja
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Seja
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Seja a matriz dada por
A) O determinante da matriz inversa da matriz B é 1.
B) A soma dos elementos da matriz inversa da matriz B é 4.
C) A matriz B não possui matriz inversa.
D) A matriz inversa de B é a matriz identidade.
E) A matriz inversa de B possui todos os elementos negativos.
Sobre a definição de matriz inversa, analise os itens abaixo em verdadeiro ou falso.
I. Toda matriz quadrada é invertível.
II. Toda matriz identidade é invertível.
III. Toda matriz invertível possui determinante diferente de zero.
IV. Em toda matriz invertível, a sua matriz transposta também é invertível.
V. Existe matriz invertível com todos os elementos que a compõem iguais.
A) Dois itens verdadeiros.
B) Um item verdadeiro.
C) Quatro itens verdadeiros.
D) Três itens verdadeiros.
E) Todos os itens são verdadeiros.
Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.
I. A matriz M é invertível.
II. A matriz B é invertível.
III. A matriz C é invertível.
A) O item III é verdadeiro.
B) O item II é falso.
C) O item I é falso.
D) Todos os itens são falsos.
E) O item I é verdadeiro.
Alternativa C
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
O determinante dessa matriz é:
Logo, a matriz inversa de A é:
Alternativa D
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
O determinante dessa matriz é:
Logo, a matriz inversa de A é:
Alternativa E
I. Falso. Existem matrizes quadradas que não são invertíveis.
II. Verdadeiro, pois
III. Verdadeiro. Uma matriz é invertível se, e somente se, o determinante dela for diferente de zero. Para existir o determinante de uma matriz, é necessário que ela seja uma matriz quadrada.
Alternativa D
- Alternativa A) Falsa, pois nem todas as matrizes têm seus determinantes iguais ao de sua matriz inversa.
- Alternativa B) Falsa, pois A∙B=I (matriz identidade).
- Alternativa C) Falsa, pois determinante de A é
. - Alternativa D) Verdadeira, determinante de A é
. - Alternativa E) Falsa, pois existem casos em que isso não acontece. Exemplo, a matriz identidade tem como sua inversa ela mesma.
Alternativa B
Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:
Montando o sistema, temos:
Analisando o sistema acima, temos:
Logo, a matriz inversa é:
Alternativa C
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado N =
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
O determinante dessa matriz é
Logo, a matriz inversa de A é:
Alternativa B
Temos que o produto
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
O determinante dessa matriz é:
Logo, a matriz inversa de A é:
Alternativa C
Observe que o exercício pede a matriz inversa de uma matriz 2x2. Nesse caso sabemos que a matriz pode ser dada pelo procedimento prático: calcula-se o determinante da matriz A; troca-se os elementos da diagonal principal de lugar; muda-se o sinal dos elementos da diagonal principal; e divide-se todos os elementos dessa matriz obtida 2x2 pelo determinante da matriz inicial.
O determinante dessa matriz é:
Logo, a matriz inversa de A é:
Assim, a soma dos elementos é
Alternativa B
Utilizando os dados fornecidos pelo exercício, temos que:
Montando o sistema, temos:
Analisando o sistema acima, temos que:
Logo, a matriz inversa é:
Assim, a soma de seus elementos é
Alternativa C
Vamos calcular a matriz resultante da soma
Alternativa D
I. Falso. Existem matrizes quadradas não invertíveis, para isso, basta que seu determinante seja nulo.
II. Verdadeiro, pois o determinante de uma matriz identidade é 1, diferente de zero.
III. Verdadeiro. Uma condição suficiente para uma matriz ser invertível é seu determinante ser diferente de zero.
IV. Verdadeiro. Como o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante de sua original, isso já nos garante a condição necessária para ser invertível.
V. Falso. Se todos os elementos de uma matriz quadrada forem iguais, temos que o seu determinante é zero, e uma consequência disso é que ela não é invertível.
Alternativa E
I. Verdadeiro. M é uma matriz invertível, pois o seu determinante é 9.
II. Verdadeiro. B é uma matriz invertível, pois seu determinante é -64.
III. Falso. C não é uma matriz invertível, pois o seu determinante é zero.