Exercícios sobre polinômios
Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que possui questões resolvidas sobre os principais conceitos envolvendo polinômios.
(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
A) 2xy
B) 15 − 3x
C) 15 − 5y
D) -5y − 3x
E) 5y + 3x − xy
Dados os polinômios p(x) = 2x³ + 3x² + 1 e q(x) = 3x² + 5x – 15, a soma p(-2) + q(2) é igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(EAM - Aprendiz de marinheiro) Analise a figura a seguir:
Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno é:
A) 2x + 3y + z
B) 3x + 4y + 2z
C) 3x + 3y + z
D) 3x + 2y + 3z
E) 4x + 3y + 2z
Conhecendo o polinômio p(x) = 6x4 + 3x³ – 2x + x5, podemos afirmar que o seu grau é igual a:
A) 4
B) 5
C) 12
D) 11
E) 13
Sabendo que -3 é raiz do polinômio p(x) = 2x³ + kx², então, o valor de k é igual a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Conhecendo os polinômios a seguir:
P = 3a² + 4ab – 3b²
Q = a² + b²
R = -4a² – 3ab + 2b²
Então, o valor da soma P + Q + R é igual a:
A) ab
B) a² + ab – b²
C) 2a² + 2ab
D) 3a² + 4ab + b²
E) a² – ab
Um terreno possui toda a região coberta de grama, conforme a imagem a seguir:
O polinômio que representa o perímetro do polígono é:
A) 4a + 3b
B) 2a – b + 2
C) 4a + 3b + 4
D) 2a + 2b + 1
E) 3b + 4
Dados os polinômios P(x) = x² + 3x – 2 e Q(x) = x² – 5, ou seja, M(x) = P(x) · Q(x), então, M(3) é igual a:
A) 65
B) 74
C) 58
D) 64
E) 90
Qual deve ser o valor de k, para que o polinômio P(x) = (k² – 16)x4 + (k + 4)x3 + kx² + 2x – 4 tenha grau 2?
A) 4
B) -4
C) ±4
D) 16
E) -16
Analise o retângulo a seguir:
Qual é o polinômio que representa a área desse retângulo:
A) 3x + 7
B) x² + 12
C) 2x² + 12
D) 2x² + 10x + 12
E) x² + 5x + 7
Dados P(x) = x² – x + 6 e D(x) = x – 3, e sendo Q(x) = P(x) : D(x), então, o valor de Q(-2) é:
A) 1
B) 2
C) 0
D) -1
E) -2
Ao realizar o produto dos polinômios P(x) e Q(x), sabendo que P(x) tem grau 3 e Q(x) tem grau 5, o grau do polinômio P(x) · Q(x) será:
A) 5
B) 8
C) 15
D) 2
E) 9
Alternativa E
A área perdida pode ser separada em três retângulos.
O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x, mas note que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy.
Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com a do retângulo em azul menos a área em comum.
5y + 3x – xy
Alternativa D
Primeiro calcularemos o valor numérico de cada um dos polinômios para os valores dados, começando com p(-2):
p(x) = 2x³ + 3x² + 1
p(-2) = 2 · (-2)3 + 3 · (-2)2 + 1
p(-2) = 2 · (-8) + 3 · 4 + 1
p(-2) = -16 + 12 + 1
p(-2) = -3
Agora com q(2):
q(x) = 3x² + 5x – 15
q(2) = 3 · 2² + 5 · 2 – 15
q(2) = 3 · 4 + 10 – 15
q(2) = 12 + 10 – 15
q(2) = 7
Agora calcularemos p(-2) + q(2) = -3 + 7 = 4
Alternativa B
O perímetro é a soma de todos os lados da figura:
P = 2y + z + z + y + x + x + y + x
Simplificando o polinômio:
P = 3x + 4y + 2z
Alternativa B
O grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau. Analisando o polinômio p(x), é possível perceber que o maior expoente é 5, logo, ele possui grau 5.
Alternativa E
Como -3 é raiz do polinômio, então, p(-3) = 0. Substituindo x = -3 e igualando a zero, temos que:
p(-3) = 2 · (-3)3 + k · (-3)2
p(-3) = 2 · (-27) + k · 9
p(-3) = -54 + k · 9
0 = -54 + 9k
54 = 9k
9k = 54
k = 54 : 9
k = 6
Alternativa A
Realizando a soma, temos que:
P + Q + R = (3a² + 4ab – 3b²) + (a² + b²) + (-4a² – 3ab + 2b²)
Simplificando os termos semelhantes, temos:
P + Q + R = 3a² + 4ab – 3b² + a² + b² – 4a² – 3ab + 2b²
P + Q + R = 0a² + ab + 0b²
P + Q + R = ab
Alternativa C
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, dada por:
P = 2a + b + b + 3 + a + 1 + b + a
P = 4a + 3b + 4
Alternativa D
Primeiro calcularemos o produto entre P(x) e Q(x):
M(x) = (x² + 3x – 2) (x² – 5)
M(x) = x4 – 5x² + 3x³ – 15x – 2x² + 10
M(x) = x4 – 7x² + 3x³ – 15x + 10
Agora calcularemos M(3):
M(3) = 34 – 7 (3)² + 3 (3)³ – 15x + 10
M(3) = 81 – 7 · 9 + 3 · 27 – 15 · 3 + 10
M(3) = 81 – 63 + 81 – 45 + 10
M(3) = 64
Alternativa B
Para que o polinômio tenha grau 0, os coeficientes que acompanham x4 e x3 têm que ser iguais a 0, ou seja:
P(x) = (k² – 16)x4 + (k + 4)x3 + kx² + 2x – 4
k² – 16 = 0 e k + 4 = 0
Encontraremos os valores para o primeiro coeficiente:
k² – 16 = 0
k² = 16
k = ± √16
k = ± 4
Agora encontraremos o valor de k para o segundo coeficiente:
k + 4 = 0
k = -4
Como solução para o coeficiente de x4, temos k = ± 4, e para o coeficiente de x3, k = -4. Então, como solução para que os dois coeficientes sejam igual a 0, temos k = -4.
Alternativa D
A área do retângulo é o produto entre os lados:
A = (2x + 4) (x + 3)
A = 2x² + 6x + 4x + 12
A= 2x² + 10x + 12
Alternativa B
Sabendo que o grau de P(x) é 3 e o grau de Q(x) é 5, para saber o grau do polinômio encontrado por meio do produto desses polinômios, basta realizar a soma dos graus, 5 + 3 = 8.