Exercícios sobre função exponencial

Esta lista de exercícios vai testar seus conhecimentos sobre a função exponencial, um tipo específico de função matemática em que a variável independente está no expoente. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
Questão 1

Um paciente recebe uma injeção de material radioativo com meia-vida de 2 horas. Sabendo que foram aplicados 200 microgramas desse material, depois de 8 horas quanto ainda permanece no corpo do paciente?

A) 100 microgramas

B) 50 microgramas

C) 25 microgramas

D) 12,5 microgramas

E) 6,25 microgramas

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Alternativa D

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)=200\left(\frac{1}{2}\right)^x\), onde x são os períodos de 2 horas.

Como foi pedido o cálculo depois de 8 horas, teremos 4 períodos de 2 horas, levando assim a considerarmos o valor de x=4 .

\(f\left(4\right)=200\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{200}{16}=12,5\ microgramas\) 

Questão 2

Considere uma função exponencial da expressão \(f\left(x\right)={1000}^x\). Determine o valor de \(f\left(0,\bar{33}\right)\).

A) 10

B) 240

C) 333

D) 40

E) 33

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Alternativa A

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)={1000}^x\) 

onde x assume valor dado por uma dízima periódica

\(0,333\ldots=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\)

Substituindo esse valor, temos

\(f\left(\frac{1}{3}\right)={1000}^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{1000}=10.\) 

Questão 3

Sendo as funções \(g\left(x\right)=3^{x+27} \)\(h\left(x\right)=9^{2x+3\ }\) dadas no conjunto dos números reais, determine o valor de x que as torna iguais nesse ponto.

A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

E) 13

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Alternativa B

O exercício nos pediu que as funções fossem iguais em um ponto, logo podemos escrever:

\(g(x)=h(x)\)

\(3^{x+27}=9^{2x+3}\) 

\(3^{x+27}=\left(3^2\right)^{2x+3}\) 

\(3^{x+27}=3^{4x+6}\) 

Resolvendo, temos que:

\(4x+6=x+27\) 

\(3x=21\) 

\(x=7\) 

Questão 4

Na figura abaixo foi destacado o gráfico de duas funções exponenciais f(x) e g(x). Sabendo que f(x) é uma função crescente e g(x) decrescente, analise as alternativas abaixo sobre esse gráfico e marque a alternativa correta.

Gráfico das funções exponenciais f(x) e g(x).

A) f(1)=3

B) f(2)=1

C) f(1)+g(2)=5

D) f(2)+g(1)=5

E) g(2)>3

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Alternativa C

O exercício afirma que a f(x) é crescente, logo o gráfico dessa função é o de cor azul (ascendente), e pela mesma análise concluímos que g(x) é a função de cor vermelha (descendente). De posse desses resultados e com auxílio do gráfico, temos que \(f\left(2\right)>6, f\left(1\right)=4, \ g\left(1\right)=3 \ e\ g\left(2\right)=1\).

Analisando os itens, temos:

A) Falso, pois \(f(1)=4\).

B) Falso, pois \(f\ (2)>6\).

C) Verdadeiro, pois \(f\left(1\right)+g\left(2\right)=4+1=4\).

D) Falso, pelo próprio item C).

E) Falso, pois \(g(2)=1\).

Questão 5

Sendo \(f\left(x\right)=2^{x+1}\) definida no conjunto dos números reais, marque a alternativa que representa o esboço do gráfico dessa função.

A)

Alternativa A para gráfico de função exponencial.

B)

Alternativa B para gráfico de função exponencial.

C)

Alternativa C para gráfico de função exponencial.

D)

Alternativa D para gráfico de função exponencial.

E)

Alternativa E para gráfico de função exponencial.

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Alternativa B

Antes de analisar os itens, observamos que a função exponencial \(f\left(x\right)=2^{x+1}\) é crescente.

Com essa informação sabemos que os itens C) e D) são falsos por não serem gráficos de uma função crescente. O item E) é falso por ser gráfico de uma função do segundo grau (parábola).

Agora precisamos de alguns valores da função \(f\left(x\right)=2^{x+1}\).

O valor de \(f\left(0\right)=2^{0+1}=2^1=2\). Como o gráfico do item A) afirma que \(f\left(0\right)=1\), podemos desconsiderar esse item.

Com as conclusões acima, podemos afirmar que o único item possível é o B.

Questão 6

Sendo \(h\left(x\right)={0,5}^{x\ }\) definida no conjunto dos números reais, faça os cálculos e marque a alternativa correta da expressão \(h\left(-1\right)+h\left(-2\right)+h\left(1\right)+h(2)\) .

A) 0

B) 6,75

C) 4,25

D) 2,35

E) 1,75

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Alternativa B

Primeiro determinaremos os valores de cada parte dessa expressão.

\(h\left(-1\right)={0,5}^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\) 

\(h\left(-2\right)={0,5}^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\) 

\(h\left(1\right)={0,5}^1=0,5\) 

\(h\left(2\right)={0,5}^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=0,25\) 

Agora que estamos de posse dos resultados podemos efetuar a soma:

\(h\left(-1\right)+h\left(-2\right)+h\left(1\right)+h\left(2\right)=2+4+0,50+0,25=6,75\) 

Questão 7

 O número de casos de uma doença infecciosa dobra a cada 3 dias. Se houver 100 casos hoje, quantos casos haverá após 12 dias?

A) 400

B) 800

C) 1200

D) 1400

E) 1600

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Alternativa E

Pelo exposto no exercício temos a modelagem da função exponencial dada por:

\(f\left(x\right)=100⸳2x\) 

onde x são os períodos de 3 dias. Como foi pedido o cálculo depois de 12 dias, teremos 4 períodos de 3 dias, levando assim a considerarmos o valor de x=4.

\(f\left(4\right)=100\left(2\right)^4=1600\ casos\) 

Questão 8

Um carro novo é comprado por R$ 40.000 e desvaloriza a uma taxa de 15% ao ano. Quanto valerá o carro após 3 anos? Marque a alternativa que possui uma função exponencial modelando a situação descrita.

A) \(40.000\left(0,15\right)^3\)

B) \(40.000\left(15\right)^3\)

C) \(40.000\left(0,85\right)^3\)

D) \(40.000\left(1,15\right)^3\)

E) \(40.000\left(0,55\right)^3\)

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Alternativa C

Com base nos dados do exercício a modelagem da função é do tipo exponencial, dada por:

\(f\left(t\right)=V\left(1+i\right)^t\) 

onde V é o valor de compra do carro, t é quantidade de períodos e i é a taxa.

Como é uma desvalorização, temos que \(i=-15%=-0,15\)

\(f\left(3\right)=40000\left(1-0,15\right)=40000(0,85)\) 

Questão 9

Resolvendo o sistema \(\left\{{4^{x-y}=\sqrt2\atop2^{x+2y}=\sqrt[3]{2}}\right.\),  temos que o valor de \(36y+18x \) é:

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 54

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Alternativa C

Primeiro vamos organizar o sistema de modo a ter a mesma base nos dois lados da igualdade.

\(\left\{{\left(2^2\right)^{x-y}=2^\frac{1}{2}\atop2^{x+2y}=2^\frac{1}{3}}\right.\)

\(\left\{{\left(2\right)^{2x-2y}=2^\frac{1}{2}\atop2^{x+2y}=2^\frac{1}{3}}\right.\)

Agora podemos reorganizar o sistema nas variáveis x e y, ficando com o seguinte sistema equivalente:

\(\begin{cases} 2x-2y=\frac{1}{2}\\ x+2\ y=\frac{1}{3} \end{cases}\)

Resolvendo esse sistema por método de soma, temos de forma direta \(3x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\). Logo temos que \(x=\frac{5}{18}\). Substituindo em \(x+2y=\frac{1}{3}\), temos \(2y=-\frac{5}{18}+\frac{1}{3}=\frac{1}{18}\), a partir de que concluímos que \(y=\frac{1}{36}\).

Podemos terminar o exercício efetuando a soma \(36y+18x=1+5=6\)

Questão 10

Suponha que uma colônia de bactérias esteja crescendo em um cubo de gelatina cuja aresta é 9 cm. A taxa de crescimento das bactérias é de 200% a cada hora. No início, a colônia ocupa um volume de 1 centímetro cúbico dentro do cubo. O volume da colônia de bactérias aumenta à medida que ela cresce. Quanto tempo levará para que essa colônia ocupe todo o volume desse cubo?

A) 3 horas

B) 6 horas

C) 9 horas

D) 12 horas

E) 15 horas

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Alternativa B

A capacidade da gelatina é \(V=9^3=729{cm}^3\).

Sabendo que a taxa de crescimento é 200%=2, temos que a modelagem da função exponencial é dada por \(f\left(t\right)=1\cdot\left(1+2\right)^t=3^t\).

Igualando, temos que \(3^t=729=3^6\), logo t=6 horas.

Questão 11

Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?

A) 6 horas

B) 4 horas

C) 9 horas

D) 8 horas

E) 3 horas

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Alternativa C

De acordo com o enunciado do exercício temos que a modelagem do crescimento de bactérias é dado por uma função exponencial. Agora vamos modelar o crescimento de cada população.

  • População de bactérias do tipo A: \(f\left(t\right)=800⸳3t\) (onde t representa o número de períodos de 3 horas).
  • População de bactérias do tipo B:\(f\left(t\right)=2700⸳2t \) (onde t representa o número de períodos de 3 horas).

Igualando essas duas funções, temos:

\(800⸳3t=2700⸳2t\) 

\(\frac{800}{2700}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\frac{8}{27}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\frac{2^3}{3^3}=\frac{2^t}{3^t}\) 

\(\left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^t\) 

Dessa igualdade concluímos que t=3. Como temos 3 períodos de 3 horas, podemos afirmar que após 9 horas as duas colônias terão a mesma quantidade de indivíduos.

Questão 12

Sendo uma função exponencial definida por \(f\left(x+1\right)=200\cdot\left(a+4\right)^x\), determine o valor de a  para que a \(f\left(2\right)=400\).

A) 2

B) -1

C) 3

D) -2

E) -3

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Alternativa D

O enunciado afirma que \(f\left(2\right)=400\). Pela modelagem da função \(f\left(x+1\right)=200\cdot\left(a+4\right)^x\), concluímos que \(x=1\). Igualando as duas expressões, temos:

\(200\cdot\left(a+4\right)^1=400\) 

\(\left(a+4\right)=\frac{400}{200}\) 

\(a+4=2\) 

\(a=-2\) 

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